Question

已知拋物線y=mx²-（m+5）x+5．
（1）求證：它的圖象與x軸必有交點，且過x軸上一定點；
（2）這條拋物線與x軸交于兩點A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，過（1）中定點的直線L；y=x+k交y軸于點D，且AB=4，圓心在直線L上的⊙M為A、B兩點，求拋物線和直線的關系式，弦AB與弧圍成的弓形面積．

Answer 1

（1）證明：∵y=mx²-（m+5）x+5，
∴△=[-（m+5）]²-4m×5=m²+10m+25-20m=（m-5）²；
不論m取任何實數(shù)，（m-5）²≥0，即△≥0，
故拋物線與x軸必有交點．
又∵x軸上點的縱坐標均為零，
∴令y=0，
代入y=mx²-（m+5）x+5，
得mx²-（m+5）x+5=0，（mx-5）（x-1）=0，
∴x=或x=1，
故拋物線必過x軸上定點（1，0）．

（2）解：如答圖所示，
∵L：y=x+k，把（1，0）代入上式，
得0=1+k，
∴k=-1，
∴y=x-1；
又∵拋物線與x軸交于兩點A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，AB=4，
∵x₁x₂＞0，
∴x₁=1，x₂=5，
∴A（1，0），B（5，0），
把B（5，0）代入y=mx²-（m+5）x+5，得0=25m-（m+5）×5+5，
∴m=1，
∴y=x²-6x+5；
∵M點既在直線L：y=x-1上，又在線段AB的垂直平分線上，
∴M點的橫坐標x₁+=1+；
把x=3代入y=x-1，得y=2，
∴圓心M（3，2），
∴半徑r=MA=MB=，
∴MA²=MB²=8，
又AB²=4²=16，
∴MA²+MB²=AB²
∴△ABM為直角三角形，且∠AMB=90°，
∴S_弓形ACB=S_扇形AMB-S_△ABM=．
分析：（1）若拋物線于x軸有交點，那么當y=0時，所得方程的根的判別式恒大于等于0，可據(jù)此進行證明；將拋物線解析式的右邊，用十字相乘法進行因式分解，可得：y=（mx-5）（x-1），由此可看出拋物線一定經(jīng)過點（1，0）．
（2）由于拋物線交x軸于A、B兩點，且A在B左側，且A、B都在原點的右側，因此A（1，0），B（5，0），根據(jù)A點坐標，可確定直線的解析式，根據(jù)A、B的坐標，可確定拋物線的解析式；
若⊙M同時經(jīng)過A、B兩點，根據(jù)拋物線和圓的對稱性知：點M必為拋物線對稱軸與直線的交點，由此可求得點M的坐標為（3，2），而AB=4，因此△ABM是個等腰直角三角形，即可得到的圓心角，那么扇形MAB的面積減去等腰直角三角形MAB的面積即為所求弓形的面積．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系、根的判別式、函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、函數(shù)解析式的確定、扇形面積的計算方法等，涉及知識點較多，難度較大．