Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的斜邊OB在x軸上，直線經(jīng)過等腰的直角頂點(diǎn)A，交y軸于C點(diǎn)，雙曲線也經(jīng)過A點(diǎn)連接BC．

求k的值；

判斷的形狀，并求出它的面積．

若點(diǎn)P為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A的右側(cè)的雙曲線上是否存在一點(diǎn)M，使得是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是直角三角形，S△ABC=8；

（3）在雙曲線上存在一點(diǎn)，使得是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形.

【解析】

（1）過點(diǎn)A分別作軸于M點(diǎn)，軸于N點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)A在直線上，即把A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可算出a的值，進(jìn)而得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式；

（2）利用勾股定理逆定理即可判斷出三角形ABC是直角三角形，再利用三角形面積公式求解即可；

（3）由“邊角邊”易證≌，得出，那么是所求的等腰直角三角形，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及函數(shù)圖象與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系得出結(jié)果．

解：如圖1，

過點(diǎn)A分別作軸于Q點(diǎn)，軸于N點(diǎn)，

是等腰直角三角形，

，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

點(diǎn)A在直線上，

，

解得，

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

雙曲線也經(jīng)過A點(diǎn)，

；

由知，，

，

直線與y軸的交點(diǎn)為C，

，

，，

，

是直角三角形；

則S△ABC=AB·BC=；

如圖2，

假設(shè)雙曲線上存在一點(diǎn)M，使得是等腰直角三角形；

，，

連接AM，BM，

由知，，

反比例函數(shù)解析式為，

，

在和中，

，

≌，

，

，

點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，

；

即：在雙曲線上存在一點(diǎn)，使得是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形.