Question

閱讀材料：我們知道：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB=|a-b|．所以式子|x-3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)3的點與表示有理數(shù)x的點之間的距離．
根據(jù)上述材料，解答下列問題：

（1）若|x-3|=|x+1|，則x=

 

；
（2）式子|x-3|+|x+1|的最小值為

 

；
（3）若|x-3|+|x+1|=7，求x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)絕對值的意義，可知|x-3|是數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)3的點之間的距離，|x+1|是數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)-1的點之間的距離，若|x-3|=|x+1|，則此點必在-1與3之間，故x-3＜0，x+1＞0，由此可得到關(guān)于x的方程，求出x的值即可；
（2）求|x-3|+|x+1|的最小值，由線段的性質(zhì)，兩點之間，線段最短，可知當(dāng)-1≤x≤3時，|x-3|+|x+1|有最小值．
（3）由于x-3及x+1的符號不能確定，故應(yīng)分x＞3，x≤-1≤3，x＜-1三種情況解答．

解答：解：（1）根據(jù)絕對值的意義可知，此點必在-1與3之間，故x-3＜0，x+1＞0，
∴原式可化為3-x=x+1，
∴x=1；

（2）根據(jù)題意，可知當(dāng)-1≤x≤3時，|x-3|+|x+1|有最小值．
∴|x-3|=3-x，|x+1|=x+1，
∴|x-3|+|x+1|=3-x+x+1=4；

（3）∵|x-3|+|x+1|=7，
若x＞3，則原式可化為（x-3）+（x+1）=7，x=

9

2

；
若x≤-1≤3，則-（x-3）+（x+1）=7，x不存在；
若x＜-1，則-（x-3）-（x+1）=7，x=-

5

2

；
∴x=

9

2

或x=-

5

2

．
故答案為：1，4，x=

9

2

或x=-

5

2

．

點評：本題考查的是絕對值的定義，解答此類問題時要用分類討論的思想．