Question

將兩個全等的直角三角形（△ABC≌△DCE，∠A=∠D=90°）擺放成如圖①的形式，使點A、C、D成一直線，我們稱之為“K形圖”
（1）證明：BC⊥CE；
（2）如圖②，連結(jié)BE，取BE中點F，連結(jié)AF、CF、DF，試判斷并證明△AFD的形狀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出∠B=∠DCE，求出∠ACB+∠B=90°，即可求出∠BCE=90°．
（2）延長AF交DE延長線于M，證△ABF∽△MEF，推出

AB

EM

=

BF

EF

=

AF

FM

，求出AB=EM，AF=FM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=DE，DC=AB=EM，推出AD=DM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．

解答：（1）證明：∵△ABC≌△DCE，∠A=∠D=90°，
∴∠B=∠DCE，∠ACB+∠B=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠BCE=180°-90°=90°，
∴BC⊥CE．

（2）△AFD是等腰直角三角形，
理由是：延長AF交DE延長線于M，
∵∠BAC=∠CDE=90°，
∴∠BAC+∠CDE=180°
∴AB∥DE，
∴△ABF∽△MEF，
∴

AB

EM

=

BF

EF

=

AF

FM

，
∵F為BE中點，
∴BF=EF，
∴AB=EM，AF=FM，
∵△ABC≌△DCE，
∴AC=DE，DC=AB=EM，
∴AD=DM，
∵∠ADM=90°，
∴DF⊥AM，DF=AF=FM，
即△AFD是等腰直角三角形．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理的能力．