Question

24、綜合應用：要測量不能直接到達的池塘兩岸A、B兩點的距離，有的同學采用了這樣的方法：
（1）如圖，要測量水池的寬AB，過A作線段AC⊥AB，再由點C觀測，在BA延長線上找一點B₁，使∠ACB₁=∠ACB，這時只要量出AB₁的長度，就知道AB的長了．這種做法對嗎？并請說明理由．

（2）你一定還有更好的測量AB的方法，請說出一種，畫出圖形，并說明你的做法是正確的．

Answer 1

分析：（1）由∠ACB₁=∠ACB，AC⊥AB，AC=AC，由角邊角定理可證明△AB₁C≌△ABC，即可得AB=AB₁，所以這種做法對；
（2）要測量池塘A、B兩點間的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC，
再過D點作出BF的垂線DG，并在DG上找一點E，使A、C、E在一條直線上，測量DE的長就是AB的長；
由角邊角定理可得△ABC≌△EDC，所以AB=DE，所以可證明做法正確．

解答：解：（1）做法正確．
∵AC⊥AB
∴∠CAB₁=∠CAB
∵∠ACB₁=∠ACB，AC=AC
∴由角角邊定理可得△AB₁C≌△ABC
∴AB₁=AB；

（2）要測量池塘A、B兩點間的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC，
再過D點作出BF的垂線DG，并在DG上找一點E，使A、C、E在一條直線上，
這時，測量DE的長就是AB的長，圖形如下圖所示：

證明：∵AB⊥BC，CD⊥DE
∴∠B=∠CDE=90°
又∵BC=CD，∠ACB=∠DCE
∴△ABC≌△EDC（ASA）
所以AB=DE．

點評：本題考查全等三角形的應用．在實際生活中，對于難以實地測量的線段，常常通過兩個全等三角形，轉化需要測量的線段到易測量的邊上或者已知邊上來，從而求解．