Question

（2012•德州）如圖，點(diǎn)A，E是半圓周上的三等分點(diǎn)，直徑BC=2，AD⊥BC，垂足為D，連接BE交AD于F，過(guò)A作AG∥BE交BC于G．
（1）判斷直線AG與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）求線段AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）求出弧AB=弧AE=弧EC，推出OA⊥BE，根據(jù)AG∥BE，推出OA⊥AG，根據(jù)切線的判定即可得出答案；
（2）求出等邊三角形AOB，求出BD、AD長(zhǎng)，求出∠EBC=30°，在△FBD中，通過(guò)解直角三角形求出DF即可．

解答：解：（1）直線AG與⊙O的位置關(guān)系是AG與⊙O相切，
理由是：連接OA，

∵點(diǎn)A，E是半圓周上的三等分點(diǎn)，
∴弧AB=弧AE=弧EC，
∴點(diǎn)A是弧BE的中點(diǎn)，
∴OA⊥BE，
又∵AG∥BE，
∴OA⊥AG，
∴AG與⊙O相切． 

（2）∵點(diǎn)A，E是半圓周上的三等分點(diǎn)，
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO為正三角形，
又∵AD⊥OB，OB=1，
∴BD=OD=

1

2

，AD=

3

2

，
又∵∠EBC=

1

2

∠EOC=30°（圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半），
在Rt△FBD中，F(xiàn)D=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=

1

2

×

3

3

=

3

6

，
∴AF=AD-DF=

3

2

-

3

6

=

3

3

．
答：AF的長(zhǎng)是

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，垂徑定理，切線的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：垂徑定理和解直角三角形的巧妙運(yùn)用，題目比較好，難度也適中．