Question

已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，其中對稱軸為：x=1，則下列4個結論中正確的結論有（　　）個
①abc＜0；②a+c＞b；③2a+3b＞0；④a+b＞am²+bm（m≠1）；⑤c＜-2a．

• A、2個
• B、3個
• C、4個
• D、5個

Answer 1

考點：二次函數圖象與系數的關系

專題：壓軸題

分析：由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據拋物線與x軸交點及x=1時二次函數的值的情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

解答：解：①由函數圖象開口向下可知，a＜0，由圖象與y軸的交點在y軸的正半軸可知，c＞0，由函數的對稱軸x=-

b

2a

=1＞0，a＜0，可知，b＞0，故abc＜0；此選項正確；
②因為x=-

b

2a

=

x+3

2

=1，x=-1，故x=-1時，y=a+b+c=0，即a+c=b；此選項錯誤；
③由函數圖象可知對稱軸x=-

b

2a

=1，所以2a=-b，即4a=-2b，故4a+2b=0，
∵a＜0，b＞0，
∴2a+3b＞0；此選項正確；
④根據一元二次方程根與系數的關系可知，x₁+x₂=-

b

a

=-1+3=2，所以b=-2a，
因為a＜0，所以a+b＞0，
令m=-1，則am²+bm＜0，故a+b＞am²+bm（m≠1），此選項正確；
⑤由函數圖象的對稱軸及與x軸的一個交點為3可知，與x軸的另一個交點為-1，故x₁x₂=

c

a

=-3，
∴c=-3a，∵a＜0，∴c＞-2a；此選項錯誤；
故正確的有3個．
故選：B．

點評：此題主要考查了圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換．