Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AD+BC=DC、下列結(jié)論中：①△ADE∽△BEC；②DE²=DA•DC；③若設(shè)AD=a，CD=b，BC=c，則關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④若設(shè)AD=a，AB=b，BC=c，則關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論有（　　）個(gè)．

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

分析：過(guò)E作梯形兩底的平行線EF，交CD于F；由梯形的中位線定理知AD+BC=2EF，故DC=2EF，由于F是CD的中點(diǎn)，即可證得△DEC是直角三角形，然后根據(jù)得到這個(gè)條件對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一判斷．

解答：解：過(guò)E作EF∥AD∥BC；
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴EF是梯形ABCD的中位線，即AD+BC=2EF，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)；
又∵AD+BC=CD，
∴CD=2EF，又F是CD的中點(diǎn)，
易得△DEC是直角三角形，即∠DEC=90°；由于AD∥EF，且F是Rt△EDC斜邊CD的中點(diǎn)（即FE=FD），
∴∠ADE=∠FED=∠FDE，
過(guò)E作EG⊥CD，
∵∠A=∠EGD=90°，∠ADE=∠GDE，DE=DE，
∴△ADE≌△DEG，同理可證△BEC≌△GEC；
①∵∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，又∠ADE+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠BEC，又∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC，故①正確；
②在Rt△DEC中，EG⊥CD，由射影定理得：DE²=DG•DC，
由于AD=DG，所以DE²=DA•DC，故②正確；
③若AD=a，CD=b，BC=c，則由：
a+c=b，即c=b-a；
∴關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0根的判別式為：
△=b²-4ac=b²-4a（b-a）=b²-4ab+4a²=（b-2a）²；
由于EF≠AD，即CD≠2AD，b≠2a，
∴△=（b-2a）²＞0，
即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；
④在Rt△EDC中，EG=AE=

1

2

AB=

1

2

b，DG=AD=a，CG=BC=c；
由射影定理得：EG²=DG•CG，即（

1

2

b）²=ac，即b²=4ac，b²-4ac=0；
所以關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．故④正確；
因此正確的結(jié)論有4個(gè)，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：直角梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、梯形中位線定理以及根的判別式等知識(shí)，解此題的關(guān)鍵有兩步：①證明△DEC是直角三角形，②通過(guò)輔助線構(gòu)造出全等三角形．