Question

在△ABC中，∠BAC=90°，取BC中點(diǎn)D，連接AD，BE是∠ABC的角平分線，BE交AD于點(diǎn)E，在BC上取一點(diǎn)F，使∠BFE=∠BAE，連接AF．
（1）求證：AB=BF；
（2）求證：30°-

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∠EAF=∠EBD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用已知條件可證明△ABE≌△FBE，由全等三角形的性質(zhì)即可得到AB=BF；
（2）設(shè)AF和BE交于M，∠ABE=CBE=α，由（1）可知AB=AF，所以BM⊥AF，所以∠AMB=90°，進(jìn)而可得：∠EAF=90°-∠AEM=90°-（∠BAE+∠ABE）=90°-α，繼而可證明30°-

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∠EAF=∠EBD．

解答：證明：（1）∵BE是∠ABC的角平分線，
∴∠ABE=∠FBE，
在△ABE和△FBE中，

∠ABE=∠FBE ∠BAE=∠BFE BE=BE

，
∴△ABE≌△FBE（AAS），
∴AB=AF；

（2）設(shè)AF和BE交于M，∠ABE=CBE=α，
∵∠BAC=90°，BD=CD，BD=AD=CD，
∴∠BAD=∠ABD=2α，
∵AB=AF，
∴BM⊥AF，
∴∠AMB=90°，
∴∠EAF=90°-∠AEM=90°-（∠BAE+∠ABE）=90°-α，
∴

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3

∠EAF=30°-α，
∴30°-

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3

∠EAF=∠EBD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．