Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的圓心在坐標(biāo)原點，直線l與軸相交于點P，與⊙O相交于A、B兩點，∠AOB=90°.點A和點B的橫坐標(biāo)是方程x2-x-k=0 的兩根，且兩根之差為3.

（1）求方程x2-x-k=0 的兩根；

（2）求A、B兩點的坐標(biāo)及⊙O的半徑；

（3）把直線l繞點P旋轉(zhuǎn)，使直線l與⊙O相切，求直線l的解析式.

Answer 1

（1）2和－1 （2）A(-1,2)，B(2,1) （3）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)方程的兩根分別為x1，x2（x1>x2)，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=1，由兩根之差為3，可點x1-x2=3，解方程組即可得方程的根；

過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，通過△AOC≌△OBD得到A點坐標(biāo)，利用勾股定理得OA的長；

由A、B在坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，從而得到點P的坐標(biāo)，過點P的直線與圓相切，有兩種情況，因此分切點在第一象限與第四象限兩種情況求切線的解析式.

試題解析：（1）設(shè)方程的兩根分別為x1，x2（x1>x2)，由已知得，解得，∴方程的兩根分別為2和－1；

（2）過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，易證：△AOC≌△OBD，∴BD=OC=1，AC=OD=2

∴A(-1,2)，B(2,1) ,∴OA=

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=k1x+b1，則，解得，∴y=，當(dāng)y=0時，=0，解得x=5，∴P(5,0)；

當(dāng)直線l與⊙O的切點在第一象限時，設(shè)直線l與⊙O相切于點E，過點E作EF⊥x軸于點F,∵PE是⊙O的切線，∴OE⊥PE,∴PE=,∵S△POE=OP·EF=OE·PE,∴5EF=，∴EF=2,∴OF==1，E(1,2)；

設(shè)直線l的解析式為y=k2x+b2，則，解得，∴y= -；

當(dāng)直線l與⊙O的切點在第四象限時，同理可求得y=.

考點：1、根與系數(shù)的關(guān)系；2、三角形全等的判定與性質(zhì)；3、待定系數(shù)法；4、圓的切線.