Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，連接OC交⊙O于點(diǎn)E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點(diǎn)G．
（1）求證：點(diǎn)E是的中點(diǎn)；
（2）若sin∠BAD=，⊙O的半徑為5，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連OD，由AD∥OC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠DOC=∠ADO，∠BOC=∠OAD，而∠OAD=∠ADO，則∠DOC=∠BOC，即可得到結(jié)論；
（2）連DB，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠ADB=90°，再利用三角函數(shù)可計(jì)算出BD=8，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AD=6，由于DF⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到DG=FG，利用面積公式可計(jì)算出DG的長(zhǎng)，從而得到DF的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：連OD．
∵AD∥OC，
∴∠DOC=∠ADO，∠BOC=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DOC=∠BOC，
∴弧DE=弧BE，即點(diǎn)E是的中點(diǎn)；

（2）解：連DB，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴sin∠BAD=，
∴=，
∴DB=8，
∴AD==6，
∵DF⊥AB，
∴DG=FG，S_△ABD=DG•AB=AD•BD，即DG==，
∴DF=2DG=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的�。�也考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理以及解直角三角形．