如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn) B(b,t)在直線x=b上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D、E、F分別為OB、0A、AB的中點(diǎn),其中b是大于零的常數(shù).
(1)判斷四邊形DEFB的形狀.并證明你的結(jié)論;
(2)試求四邊形DEFB的面積S與b的關(guān)系式;
(3)設(shè)直線x=b與x軸交于點(diǎn)C,問(wèn):四邊形DEFB能不能是矩形?若能.求出t的值;若不能,說(shuō)明理由.
解:(1)四邊形DEFB是平行四邊形.
證明:∵D、E分別是OB、OA的中點(diǎn),
∴DE∥AB,同理,EF∥OB,
∴四邊形DEFB是平行四邊形;
、
(2)解法一:∵S△AOB= ×8×b=4b,
由(1)得EF∥OB,∴△AEF∽△AOB,
∴ =( )2,即S△AEF= S△AOB=b,同理S△ODE=b,
∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b,即S=2b(b>0);
解法二:如圖,連接BE,
S△AOB= ×8×b=4b,
∵E、F分別為OA、AB的中點(diǎn),
∴S△AEF= S△AEB= S△AOB=b,
同理S△EOD=b,
∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b,
即S=2b(b>0);
(3)解法一:以E為圓心,OA長(zhǎng)為直徑的圓記為⊙E,
①當(dāng)直線x=b與⊙E相切或相交時(shí),若點(diǎn)B是切點(diǎn)或交點(diǎn),則∠ABO=90°,由(1)知,四邊形DEFB是矩形,
此時(shí)0<b≤4,可得△AOB∽△OBC,
∴ = ,即OB2=OA•BC=8t,
在Rt△OBC中,OB2=BC2+OC2=t2+b2,
∴t2+b2=8t,
∴t2-8t+b2=0,
解得t=4± ,
②當(dāng)直線x=b與⊙E相離時(shí),∠ABO≠90°,
∴四邊形DEFB不是矩形,
綜上所述:當(dāng)0<b≤4時(shí),四邊形DEFB是矩形,這時(shí),t=4± ,當(dāng)b>4時(shí),四邊形DEFB不是矩形;
解法二:由(1)知,當(dāng)∠ABO=90°時(shí),四邊形DEFB是矩形,
此時(shí),Rt△OCB∽R(shí)t△ABO,
∴ = ,即OB2=OA•BC,
又OB2=BC2+OC2=t2+b2,OA=8,BC=t(t>0),
∴t2+b2=8t,
∴(t-4)2=16-b2,
①當(dāng)16-b2≥0時(shí),解得t=4± ,此時(shí)四邊形DEFB是矩形,
②當(dāng)16-b2<0時(shí),t無(wú)實(shí)數(shù)解,此時(shí)四邊形DEFB不是矩形,
綜上所述:當(dāng)16-b2≥0時(shí),四邊形DEFB是矩形,此時(shí)t=4± ,當(dāng)16-b2<0時(shí),四邊形DEFB不是矩形;
解法三:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC,垂足為M,
在Rt△AMB中,AB2=AM2+BM2=b2+(8-t)2,
在Rt△OCB中,OB2=OC2+BC2=b2+t2,
在Rt△OAB中,當(dāng)AB2+OB2=OA2時(shí),∠ABO=90°,則四邊形DEFB為矩形,
∴b2+(8-t)2+b2+t2=82,
化簡(jiǎn)得t2-8t=-b2,配方得(t-4)2=16-b2,其余同解法二.
解析:略
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