Question

已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠APB=135°，BP=1，AP=

7

．求PC的長．

Answer 1

分析：把△PBC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PP′，然后求出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式計算求出P′A，從而得解．

解答：解：如圖，把△PBC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP′（點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′與點(diǎn)A重合），
所以，AP′=PC，BP′=BP=1，
所以，△PBP′是等腰直角三角形，
所以，∠P′PB=45°，PP′=

BP2+BP′2

=

12+12

=

2

，
∵∠APB=135°，
∴∠APP′=∠APB-∠P′PB=135°-45°=90°，
在Rt△APP′中，AP′=

PP′2+AP2

=

2 2+ 7 2

=3，
∴PC=AP′=3．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．