Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)A（-1，0）．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)：B（   ，   ），C（   ，   ）；

（2）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式；

（3）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點(diǎn)E放在線段AB上（點(diǎn)E是不與A，B兩點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)），并使ED所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．此時(shí)，EF所在直線與（2）中的拋物線交于第一象限的點(diǎn)M．當(dāng)AE=2時(shí)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P使△PEM是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）、；（2）；（3）存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（1，-2）或（1，）或（1，）.

【解析】

試題分析：（1）如圖，已知∠CAB=60⁰，所以∠ACO=30⁰，所以AC=2AO,又由A（-1，0）．可知AO=1，所以AC=2，

在Rt△ACB中，∠ABC=30⁰，所以AB=2AC,即AB=4，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3,0）由勾股定理可得CO=.所以

點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：、.

如圖，已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可設(shè)拋物線的解析式為：，再由點(diǎn)C

的坐標(biāo)求出a的值即可求解.

（3）求滿(mǎn)足使△PEM為等腰三角形的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，一般地，當(dāng)一等腰三角形的兩腰不明確時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論如下：①當(dāng)EP=EM時(shí)，即以點(diǎn)E為圓心，以EM為半徑作圓與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P；②當(dāng)EM=PM時(shí)，即以點(diǎn)M為圓心，以EM為半徑作圓與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P；③當(dāng)PE=PM時(shí)，線段EM的垂直平分線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P.先由已知求證△CAE為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再依次求出上述各種情況下滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：

解：（1）、.

（2）∵點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），

∴可設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為，

∵點(diǎn)C（0，）也在此拋物線上，

∴，  解得：，

∴此拋物線的解析式為即．

存在．如圖所示：

∵AE=2，

∴OE=1，

∴E（1，0），此時(shí)，△CAE為等邊三角形．

∴∠AEC=∠A=60°．

又∵∠CEM=60°，

 ∴∠MEB=60°．

∴點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)．

∵C（0，），

∴M（2，）．

過(guò)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N（2，0），

∴MN=．

∴ EN=1．

∴．

若△PEM為等腰三角形，則：

①如圖1，當(dāng)EP=EM時(shí)，∵EM=2，且點(diǎn)P在直線x=1上，∴P（1，2）或P（1，-2）．

②如圖2，當(dāng)EM=PM時(shí)，點(diǎn)M在EP的垂直平分線上，∴P（1，）．

③如圖3，當(dāng)PE=PM時(shí)，點(diǎn)P是線段EM的垂直平分線與直線x=1的交點(diǎn)，∴P（1，）．

∴綜上所述，存在P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（1，-2）或（1，）或（1，）時(shí)，△EPM為等腰三角形．

考點(diǎn),1、求二次函數(shù)解析式；2、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題-滿(mǎn)足等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo).