Question

方程（x³-3x²+x-2）（x³-x²-4x+7）+6x²-15x+18=0的全部相異實(shí)根是________．

Answer 1

1，±2，
分析：首先假設(shè)A=x³-2x²-x+，B=，將原方程轉(zhuǎn)化為（A-B）（A+B）+6B-9=0，通過因式分解求得A、B關(guān)系，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了降次．再將A、B代入根據(jù)因式分解后的分式分情況求解．
解答：設(shè)A=x³-2x²-x+，B=
則原方程轉(zhuǎn)化為（A-B）（A+B）+6B-9=0，即
A²-B²+6B-9=0，A²-（B²-6B+9）=0，A²-（B-3）²=0，
（A+B-3）（A-B+3）=0，
A+B-3=0或A-B+3=0．
①若A+B-3=0，即x³-x²-4x+4=0，
（x²-4）（x-1）=0，
x²-4=0或x-1=0，
x=±2或1；
②若A-B+3=0，
即x³-3x²+x+1=0，（x-1）（x²-2x-1）=0，
∴x-1=0或x²-2x-1=0，
x=1或
∴原方程的根是1（2重根），±2，
故答案為1，±2，
點(diǎn)評(píng)：解答此類題目的關(guān)鍵是把原方程通過假設(shè)換元達(dá)到了因式分解的目的，同時(shí)也實(shí)現(xiàn)了降次．