Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點M，AE切⊙O于點A，交BC的延長線于點E，連接AC．

（1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的長；

（2）求證：AE²＝EB·EC．

 

Answer 1

解：（1）解法一：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 解法二：

　 ∵AB為⊙O的直徑，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵AB為⊙O的直徑，∠B＝30°，

　 ∴∠ACB＝90°．……1分　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴AC＝AB＝1，BC＝AB•cos30°＝

　 ∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，　　　　　　　　　　 ∵弦CD⊥直徑AB于點M，

　 ∴BC＝AB•cos30°＝2×.　　　　　　　　　　　　 ∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC

　 ∵弦CD⊥直徑AB，∠B＝30°，　　　　　　　　　　　　　 ∴CD＝2CM＝2×

　 ∴ CM＝BC=. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝2×＝

　 CD＝2CM＝．　 （其它解法請酌情給分）

（2）證明：∵AE切⊙O于點A，AB為⊙O的直徑，

　 ∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°，

　∴∠ACE＝∠BAE＝90°．

　 又∵∠E＝∠E，

　 ∴Rt△ECA∽Rt△EAB．

　 ∴．

　 ∴AE²＝EB•EC．