Question

已知：拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點．

(1)求拋物線的解析式和頂點B的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點A是拋物線與x軸的另一個交點，試在y軸上確定一點P，使PA＋PB最短，并求出點P的坐標(biāo)；

(3)過點A作AC∥BP交y軸于點C，求到直線AP、AC、CP距離相等的點的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點， 　　∴＝0．解得． 　　∵，∴ 　　∴　1分 　　∴．　2分 　　(2)令，得＝0， 　　解得． 　　∴　3分 　　∴點A關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為． 　　聯(lián)結(jié)，直線與軸的交點即為所求點P． 　　可求得直線的解析式：． 　　∴　4分 　　(3)到直線AP、AC、CP距離相等的點有四個． 　　如圖，由勾股定理得，所以△PAC為等邊三角形． 　　易證軸所在直線平分∠PAC，BP是△PAC的一個外角的平分線．作∠PCA的平分線，交軸于點，交過A點的平行線于y軸的直線于點，作△PAC的∠PCA相鄰?fù)饨堑钠椒志�，交于點，反向延長C交軸于點．可得點就是到直線AP、AC、CP距離相等的點．可證△AP 、△AC、 △PC均為等邊三角形．可求得：①，所以點M1的坐標(biāo)為；　5分 　�、�，所以點M2的坐標(biāo)為；　6分 　　③點M3與點M2關(guān)于x軸對稱，所以點M3的坐標(biāo)為；　7分 　�、茳c與點A關(guān)于y軸對稱，所以點的坐標(biāo)為． 　　綜上所述，到直線AP、AC、CP距離相等的點的坐標(biāo)分別為，，，．　8分