Question

如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，點P在矩形ABCD內，若AB=4，BC=6，AE=CG=3，BF=DH=4，四邊形AEPH的面積為5，求四邊形PFCG的面積．

Answer 1

分析：先連接AP，CP．把該四邊形分解為三角形進行解答．設△AHP在AH邊上的高為x，△AEP在AE邊上的高為y．得出AH=CF，AE=CG．然后得出S_{四邊形AEPH}=S_△AHP+S_△AEP．根據題意可求解．

解答：解：解法一、
連接AP，CP，設△AHP在AH邊上的高為x，△AEP在AE邊上的高為y．
則△CFP在CF邊上的高為4-x，△CGP在CG邊上的高為6-y．
∵AH=CF=2，AE=CG=3，
∴S_{四邊形AEPH}=S_△AHP+S_△AEP，
=

1

2

AH×x+

1

2

AE×y，
=

1

2

×2x+

1

2

×3y=5，即2x+3y=10，
S_{四邊形PFCG}=S_△CGP+S_△CFP=CF×（4-x）×

1

2

+CG×（6-y）×

1

2

，
=2（4-x）×

1

2

+3（6-y）×

1

2

，
=（26-2x-3y）×

1

2

，
=（26-10）×

1

2

，
=8．
解法二、連接HE、EF、FG、GH，證△DHG≌△BFE，
推出HG=EF，
同理：HE=GF，
則四邊形EFGH由條件知是平行四邊形，面積為4×6-

1

2

×3×2-

1

2

×3×2-

1

2

×4×1-

1

2

×4×1=14，
由平行四邊形性質知：S_△HEP+S_△FGP=

1

2

S_{平行四邊形EFGH}=7，
∵△AEH的面積為

1

2

×3×2=3，△CGF的面積為

1

2

×3×2=3，
四邊形AEPH的面積為5，
∴△HEP的面積是5-3=2，
△PGF的面積是7-2=5，
∴四邊形PFCG的面積S=S_△PGF+S_△CGF=5+3=8．
答：四邊形PFCG的面積是8．

點評：本題考查了對矩形的性質，三角形的面積等知識點，把四邊形的面積分解為三角形的面積來求解是解此題的關鍵．