Question

探索發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若△ABC的面積為S，則△ACD的面積為______．
聯(lián)系拓展：
（2）在圖2中，E、F分別是?ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，若?ABCD的面積為S，求四邊形BEDF的面積？并說明理由．
（3）在圖3中，E、F分別是?ABCD的邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE=

1

3

AB，BF=

1

3

BC，若?ABCD的面積為S，則四邊形BEDF的面積為______．
解決問題：
（4）如圖4中，矩形ABCD中，AB=nBC（n為常數(shù)，且n＞0）．E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形BEDF的面積始終等于矩形面積的

1

2

，請?zhí)骄烤�段AE、BF應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）∵AD為三角形ABC的底邊中線，
∴DC為BC的一半，
由圖可知△ABC與△ADC同高，
又知△ABC面積為S，
∴三角形ADC面積為

1

2

S，
故填

1

2

S；

（2）連接BD，
∵E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴同理（1）可知△BED面積為△ABD面積的一半，△BDF面積為△BDC面積的一半，
又∵?ABCD面積為S，
∴四邊形BEDF面積為

1

2

S；

（3）連接BD，
∵AE=

1

3

AB，BF=

1

3

BC，
∴計(jì)算同理于（2），
∵?ABCD的面積為S，
∴四邊形BEDF為

1

2

S．
故填

1

2

S；

（4）連接BD，
由題意四邊形BEDF的面積始終等于矩形面積的一半，
即AB•BC=2（

1

2

BE•AD+

1

2

BF•AB），
∵AB=nBC，
∴AB•BC=2（

1

2

BE•

1

n

AB+

1

2

BF•AB）=BE•

1

n

AB+BF•AB，
∴BC=BE•

1

n

+BF，
∴

1

n

AB=

1

n

EB+BF，
∴AE=nBF．