Question

如圖，在半徑為6cm的圓中，弦AB長(zhǎng)6

3

cm，試求弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)．

Answer 1

分析：設(shè)弦AB在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角為∠P，劣弧上所對(duì)的圓周角為∠P′，連接OA，OB，過O點(diǎn)作OC⊥AB，垂足為C，由垂徑定理可知AC=

1

2

AB=3

3

，解直角三角形得∠AOC的度數(shù)，由垂徑定理可知，∠AOB=2∠AOC，由圓周角定理得∠P=

1

2

∠AOB，利用∠P與∠P′的互余關(guān)系求∠P′．

解答：解：如圖，設(shè)弦AB在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角為∠P，劣弧上所對(duì)的圓周角為∠P′，
連接OA，OB，過O點(diǎn)作OC⊥AB，垂足為C，
由垂徑定理，得AC=

1

2

AB=3

3

，
在Rt△AOC中，OA=6，sin∠AOC=

AC

OA

=

3 3

6

=

3

2

，
解得∠AOC=60°，
所以，∠AOB=2∠AOC=120°，
根據(jù)圓周角定理，得∠P=

1

2

∠AOB=60°，
又APBP′為圓內(nèi)接四邊形，
所以，∠P′=180°-∠P=120°，
故弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)為60°或120°

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，解直角三角形的運(yùn)用．關(guān)鍵是連接半徑，將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，解直角三角形求圓心角，再求圓周角，注意弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)，它們互補(bǔ)．