Question

如圖1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉．

（1）在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①證明DM=DN；②在這一過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的；若不發(fā)生變化，求出其面積；
（2）繼續(xù)旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）繼續(xù)旋轉至如圖3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出寫出結論，不用證明．

Answer 1

解：（1）①如圖1，連接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC=AD，∠BDC=90°，
∴∠ABD=∠C=45°，
∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，
∴∠MDB=∠NDC，
∴△BMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN；
②四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化；
由①知△BMD≌△CND，
∴S_△BMD=S_△CND，
∴S_{四邊形DMBN}=S_△DBN+S_△DMB=S_△DBN+S_△DNC=S_△DBC=S_△ABC=×=；

（2）DM=DN仍然成立；
證明：如圖2，連接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC，∠BDC=90°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴∠DBM=∠DCN=135°，
∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，
∴∠CDN=∠BDM，
則在△BMD和△CND中，，
∴△BMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN．

（3）DM=DN．
分析：（1）連接BD，證明△DMB≌△DNC．根據(jù)已知，全等條件已具備兩個，再證出∠MDB=∠NDC，用ASA證明全等，四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化，因為它的面積始終等于△ABC面積的一半；
（2）成立．同樣利用（1）中的證明方法可以證出△DMB≌△DNC；
（3）結論仍然成立，方法同（1）．
點評：本題利用ASA求三角形全等，還運用了全等三角形的性質，等腰直角三角形的性質，及等腰三角形三線合一定理，勾股定理和面積公式的利用等知識．