Question

如圖，PA為⊙O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，直線(xiàn)PO交⊙O與點(diǎn)E，F(xiàn)過(guò)點(diǎn)A作PO的垂線(xiàn)AB垂足為D，交⊙O與點(diǎn)B，延長(zhǎng)BO與⊙O交與點(diǎn)C，連接AC，BF．
（1）求證：PB與⊙O相切；
（2）試探究線(xiàn)段EF，OD，OP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，由OP垂直于AB，利用垂徑定理得到D為AB的中點(diǎn)，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP與三角形BOP全等，由PA為圓的切線(xiàn)，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等及垂直的定義得到OB垂直于BP，即PB為圓O的切線(xiàn)；
（2）由一對(duì)直角相等，一對(duì)公共角，得出三角形AOD與三角形OAP相似，由相似得比例，列出關(guān)系式，由OA為EF的一半，等量代換即可得證．
（3）連接BE，構(gòu)建直角△BEF．在該直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理可設(shè)BE=x，BF=2x，進(jìn)而可得EF=x；然后由面積法求得BD=x，所以根據(jù)垂徑定理求得AB的長(zhǎng)度，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理易求BC的長(zhǎng)；最后由余弦三角函數(shù)的定義求解．
解答：（1）證明：連接OA，
∵PA與圓O相切，
∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D為AB中點(diǎn)，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，
，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴BP⊥OB，
則直線(xiàn)PB為圓O的切線(xiàn)；

（2）答：EF²=4DO•PO．
證明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴=，即OA²=OD•OP，
∵EF為圓的直徑，即EF=2OA，
∴EF²=OD•OP，即EF²=4OD•OP；

（3）解：連接BE，則∠FBE=90°．
∵tan∠F=，
∴=，
∴可設(shè)BE=x，BF=2x，
則由勾股定理，得
EF==x，
∵BE•BF=EF•BD，
∴BD=x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2BD=x，
∴Rt△ABC中，BC=x，
AC²+AB²=BC²，
∴12²+（x）²=（x）²，
解得：x=4，
∴BC=4×=20，
∴cos∠ACB===．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)，相似及全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握切線(xiàn)的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．