Question

如圖1，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點（不與A、C重合），PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F．
（1）試說明：BP=DP；
（2）如圖2，若正方形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中是否總有BP=DP？若是，請給予證明；若不是，請畫圖用反例加以說明；
（3）試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與正方形PECF的兩個頂點連接，使得到的兩條線段在正方形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等，并證明你的結論；
（4）旋轉的過程中AP和DF的長度是否相等，若不等，直接寫出AP：DF=______

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形全等證明PB=PD．
（2）通過反例說明，如點P在正方形的邊上．
（3）由旋轉的特點找到DF和BE，再利用三角形全等證明它們相等．
（4）通過特殊位置如圖1可判斷它們是否相等，也可求出它們的比．
（5）把面積的最值問題轉化為三角形的高即C點到BD距離大小問題．
解答：解：（1）∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠BAP=∠DAP=45°，BA=DA，又AP為公共邊，
∴△BAP≌△DAP，
∴PB=PD；

（2）不是總有BP=DP．如圖，當P點在BC上時，顯然DP＞BP，

（3）BE=DF．
證明如下：如圖2，連DF，BE．

∵∠1+∠FCB=∠2+∠FCB=90°，
∴∠1=∠2，
又∵CF=CE，CD=CB，
∴△CDF≌△CBE，（SAS）
∴BE=DF；

（4）旋轉的過程中AP和DF的長度不相等．它們的比值不變，AP：DF=：1．
理由如下：如圖

過B點作BM⊥BE，且BM=BE．則△BMA≌△CEM．所以∠AMB=∠BEC，EC=AM．由（3）得BM=BE=DF，
又∵EC=PE，
∴AM=PE，而∠3=∠AMB-135°，∠4=∠BEC-90°-45°，
∴∠3=∠4，
∴四邊形AMEP是平行四邊形，
∴AP=ME，
由（3）得BM=BE=DF，
所以AP=BE=DF．
故填：1．

（5）正方形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中，△PBD的面積存在最大值和最小值，
當P點到BD的距離最小時，△PBD的面積最小，而P點到C點的距離不變，
所以CP⊥BD時，△PBD的面積最小，此時P點在AC上，
S_△BDP=×4×=4，
當P點到BD的距離最大時，△PBD的面積最大，而P點到C點的距離不變．
所以CP⊥BD時，△PBD的面積最大，此時P點在AC的延長線上．S_△BDP=×4×3=12．
點評：熟悉正方形的性質和三角形全等的判定定理，熟練掌握旋轉的性質．