Question

如圖1～4所示，每個(gè)圖中的“7”字形是由若干個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形拼接而成，“7”字形的一個(gè)頂點(diǎn)P落在反比例函數(shù)y=的圖象上，另“7”字形有兩個(gè)頂點(diǎn)落在x軸上，一個(gè)頂點(diǎn)落在y軸上．
（1）圖1中的每一個(gè)小正方形的面積是______；
（2）按照?qǐng)D1→圖2→圖→圖4→…這樣的規(guī)律拼接下去，第n個(gè)圖形中每一個(gè)小正方形的面積是______．（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

解：（1）作PA⊥y軸于A，圖中的“7”字形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為B、C、D，如圖1，
設(shè)每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，
易證得Rt△ECD∽R(shí)t△OBC∽R(shí)t△APB，
∴=，=，
∴====1，
在RtOBC中，BC=a，
∵OB²+OC²=BC²=a²，OB=OC，
∴OB=，
在Rt△ABP中，PB=2a，
∵AB²+AP²=BP²=4a²，AB=AP，
∴AB=AP=a，
∴OA=，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∴•=1，
∴a²=；

（2）如圖2，同樣得到Rt△ECD∽R(shí)t△OBC∽R(shí)t△APB，
∴=，=，
∴====2，
在RtOBC中，BC=a，
∵OB²+OC²=BC²=a²，OB=2OC，
∴OB=，
在Rt△ABP中，PB=3a，
∵AB²+AP²=BP²=9a²，AB=2AP，
∴AB=，AP=
∴OA=，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∴•=1，
∴a²=；
如圖3，易證得Rt△ECD∽R(shí)t△OBC∽R(shí)t△APB，
∴=，=，
∴====3，
同理可得a²=；
如圖4，易證得Rt△ECD∽R(shí)t△OBC∽R(shí)t△APB，
∴=，=，
∴====4，
同理可得a²=；
∵第1個(gè)圖每一個(gè)小正方形的面積===；
第2個(gè)圖每一個(gè)小正方形的面積===；
第3個(gè)圖每一個(gè)小正方形的面積==；
第4個(gè)圖每一個(gè)小正方形的面積===，
∴第n個(gè)圖每一個(gè)小正方形的面積=．
故答案為（1）；（2）．
分析：（1）作PA⊥y軸于A，圖中的“7”字形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為B、C、D，如圖1，設(shè)每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，證得Rt△ECD∽R(shí)t△OBC∽R(shí)t△APB，利用相似比得到====1，再分別在在RtOBC和Rt△ABP中，利用勾股定理得到OB=，AB=AP=a，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），然后把P點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得到a²=；
（2）對(duì)于如圖2、圖3、圖4利用同樣的方法可得到每一個(gè)小正方形的面積，然后把計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行變形，觀察其中的規(guī)律，可發(fā)現(xiàn)第n個(gè)圖每一個(gè)小正方形的面積=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足其函數(shù)解析式；熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)、相似三角形的相似比和勾股定理進(jìn)行計(jì)算．