Question

已知：AC是矩形ABCD的對角線，延長CB至E，使CE=CA，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，連接DF、CF分別交AB于G、H點(diǎn)
（1）求證：FG=FH；
（2）若∠E=60°，且AE=8時(shí)，求梯形AECD的面積．

Answer 1

分析：要證明FG=FH，證明∠FGH=∠FHG即可，因?yàn)锳BCD為矩形，AB∥CD，所以只要證明∠FDC=∠FCD即可證得．

解答：（1）證明：連接BF
∵ABCD為矩形
∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC
∴△ABE為直角三角形
∵F是AE的中點(diǎn)
∴AF=BF=EF
∴∠FAB=∠FBA
∴∠DAF=∠CBF
∵

AD=BC ∠DAF=∠CBF AF=BF

∴△DAF≌△CBF
∴∠ADF=∠BCF
∴∠FDC=∠FCD
∴∠FGH=∠FHG
∴FG=FH；

（2）解：∵AC=CE，∠E=60°
∴△ACE為等邊三角形
∴CE=AE=8
∵AB⊥BC
∴∠BAC=30°，
∴BC=BE=

1

2

CE=4
∴根據(jù)勾股定理AB=4

3

∴梯形AECD的面積=

1

2

×(AD+CE)×CD=

1

2

×(4+8)×4

3

=24

3

．

點(diǎn)評：本題有多種證明方法，例如從F點(diǎn)向CD引垂線．靈活的作輔助線是解題的關(guān)鍵．