Question

如圖，一拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸正半軸交于點C，對稱軸x=

3

2

與x軸相交于點E，且OC=2，tan∠ACO=

1

2

．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在對稱軸上找一點D，使△ADC周長最短，求此時線段DE的長；
（3）探究：在（1）中拋物線上是否存在點P，使PB=PC？若存在，求出P的坐標(biāo)，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得出A、C兩點的坐標(biāo)，由對稱性易知點B的坐標(biāo)，設(shè)過A、B、C三點的解析式，代入數(shù)據(jù)即可得出解析式；
（2）連接BC交對稱軸于一點D．可求得BE的長，由平行線的性質(zhì)進而得出DE的長；
（3）先下結(jié)論，再設(shè)F為BC的中點，則點P為直線EF與拋物線的交點，可求得F的坐標(biāo)，得出EF的解析式，根據(jù)交點坐標(biāo)的求法即可得出答案．

解答：解：（1）在Rt△ACO中，
∵OC=2，tan∠ACO=

1

2

，
∴OA=1，∴A（-1，0），C（0，2），
由對稱性易知B（4，0）
∴設(shè)過A、B、C三點的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），
∴2=a（0+1）（0-4），
解得a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）連接BC交對稱軸x=

3

2

于一點D．
∵點A、B關(guān)于x=

3

2

對稱，
∴D點即為所求的點，
連接AD，此時△ADC的周長最短；
∵OE=

3

2

，OB=4，
∴BE=

5

2

，
∵DE∥CO，易證：△BDE∽△BCO，
∴

DE

OC

=

BE

BO

即

DE

2

=

5 2

4

，
∴DE=

5

4

；

（3）存在．
設(shè)F為BC的中點，則點P為直線EF與拋物線的交點，可求得F（2，1），
∴直線EF的解析式為：y=2x-3，
由2x-3=-

1

2

x²+

3

2

+2，
解得x₁=

-1+ 41

2

，x₂=

-1- 41

2

，
∴符合條件的點P的坐標(biāo)為：
P₁（

-1+ 41

2

，-4+

41

），P₂（

-1- 41

2

，-4-

41

）．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一元二次方程的解法，綜合性較強，難度較大．