Question

如圖，一拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸x=

3

2

與x軸相交于點(diǎn)E，且OC=2，tan∠ACO=

1

2

．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)D，使△ADC周長(zhǎng)最短，求此時(shí)線段DE的長(zhǎng)；
（3）探究：在（1）中拋物線上是否存在點(diǎn)P，使PB=PC？若存在，求出P的坐標(biāo)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由對(duì)稱(chēng)性易知點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的解析式，代入數(shù)據(jù)即可得出解析式；
（2）連接BC交對(duì)稱(chēng)軸于一點(diǎn)D．可求得BE的長(zhǎng)，由平行線的性質(zhì)進(jìn)而得出DE的長(zhǎng)；
（3）先下結(jié)論，再設(shè)F為BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)P為直線EF與拋物線的交點(diǎn)，可求得F的坐標(biāo)，得出EF的解析式，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法即可得出答案．

解答：解：（1）在Rt△ACO中，
∵OC=2，tan∠ACO=

1

2

，
∴OA=1，∴A（-1，0），C（0，2），
由對(duì)稱(chēng)性易知B（4，0）
∴設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），
∴2=a（0+1）（0-4），
解得a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）連接BC交對(duì)稱(chēng)軸x=

3

2

于一點(diǎn)D．
∵點(diǎn)A、B關(guān)于x=

3

2

對(duì)稱(chēng)，
∴D點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，
連接AD，此時(shí)△ADC的周長(zhǎng)最短；
∵OE=

3

2

，OB=4，
∴BE=

5

2

，
∵DE∥CO，易證：△BDE∽△BCO，
∴

DE

OC

=

BE

BO

即

DE

2

=

5 2

4

，
∴DE=

5

4

；

（3）存在．
設(shè)F為BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)P為直線EF與拋物線的交點(diǎn)，可求得F（2，1），
∴直線EF的解析式為：y=2x-3，
由2x-3=-

1

2

x²+

3

2

+2，
解得x₁=

-1+ 41

2

，x₂=

-1- 41

2

，
∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：
P₁（

-1+ 41

2

，-4+

41

），P₂（

-1- 41

2

，-4-

41

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一元二次方程的解法，綜合性較強(qiáng)，難度較大．