(2004•紹興)如圖,CB、CD是⊙O的切線,切點分別為B、D.CD的延長線與⊙O的直徑BE的延長線交于A點,連接OC,ED.
(1)探索OC與ED的位置關系,并加以證明;
(2)若AD=4,CD=6,求tan∠ADE的值.

【答案】分析:(1)連接OD,證△COD≌△COB,則∠COD=∠COB;又∠DOB是等腰△ODE的外角,則∠DOB=2∠DEB,由此可證得∠COB=∠DEB;同位角相等,則DE∥OC;
(2)Rt△ABC中,由勾股定理,易求得AB的長;然后在Rt△ADO中,用⊙O的半徑表示出OA的長,再根據(jù)勾股定理求出⊙O的半徑.則Rt△COD中,即可求得∠OCD的正切值,由(1)知:∠ADE=∠OCE,由此可求出∠ADE的正切值.
解答:解:(1)OC∥ED,(1分)
證明:連接OD,
∵BC、CD是⊙O的切線,
∴∠CBO=∠CDO=90°.
∵OD=OB,CO=CO,
∴△COB≌△COD.
∴∠COD=∠COB.
又∵OD=OE,
∴∠EDO=∠DEO.
∵∠DEO=∠DOB,(4分)
∴∠DEO=∠COB.
∴OC∥ED.(5分)

(2)∵CD=6,AD=4,
∴CB=6,AC=10.(6分)
∴AB=8.(7分)
設⊙O的半徑為r,
在Rt△ADO中有(8-r)2=42+r2
解得r=3.(8分)
∵OC∥ED,
∴∠ADE=∠DCO.(9分)
在Rt△COD中,tan∠DCO=,
∴tan∠ADE=.(10分)
點評:本題主要考查了切線的性質(zhì)、平行線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識.
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