Question

如圖①，?ABCD中AB=12cm，BC=8cm，∠D與∠C的平分線分別交AB于F、E．
求：
（1）AE、BF的長．
（2）改變BC的長度，上題其他條件不變，使點E、F重合，如圖②，則點E、F重合時BC長為多少？并求出這時AE的長．
（3）在上題（2）中，如果∠A=60°，請出△CDE的面積．

Answer 1

分析：（1）由?ABCD中，∠D與∠C的平分線分別交AB于F、E，易證得AD=AF=BE=BC，又由AB=12cm，BC=8cm，即可求得AE、BF的長．
（2）由AE=BE=BC，AE+BE=AB，即可求得點E、F重合時BC長為多少，這時AE的長．
（3）由∠A=60°，易求得∠DEC=90°，然后由勾股定理求得CE的長，繼而求得△CDE的面積．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠CDF=∠AFD，∠DCE=∠BEC，AD=BC=8cm，
∵∠D與∠C的平分線分別交AB于F、E．
∴∠ADF=∠CDF，∠BCE=∠DCE，
∴∠ADF=∠AFD，∠BCE=∠BEC，
∴AD=AF，BC=BE，
∵AB=12cm，BC=8cm，
∴BE=AF=8cm，
∴AE=AB-BE=12-8=4（cm），BF=AB-AF=12-8=4（cm）；

（2）∵由（1）AE=BE，AB=AE+BE，
∴AB=2AE=12cm，
∴AE=BE=6cm，
∴BC=BE=6cm；
∴點E、F重合時BC長為6cm，這時AE的長為6cm；

（3）∵∠A=60°，AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=120°，
∵AD=AE，BC=BE，
∴∠DEA=60°，∠BEC=30°，DE=AE=6cm，
∴∠DEC=90°，
∵CD=AB=12cm，
∴EC=

CD2-DE2

=6

3

（cm），
∴S△CDE=

1

2

DE•CE=

1

2

×6×6

3

=18

3

（cm²）．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．