Question

（2012•鎮(zhèn)江二模）如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．同樣，點(diǎn)D也是A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．
（1）如圖1，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，請(qǐng)?jiān)谶匒B上作出C，D兩點(diǎn)的所有勾股點(diǎn)（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（2）如圖2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿著DC方向以1cm/s的速度向右移動(dòng)，過點(diǎn)P的直線l平行于BC，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），點(diǎn)H為M，N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上．
①當(dāng)t=4、t=5時(shí)，直接寫出點(diǎn)H的個(gè)數(shù)．
②探究滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)（直接寫出點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍，不必證明）．

Answer 1

分析：（1）以CD為直徑作圓O，與AB的交點(diǎn)就是C、D的勾股點(diǎn)．
（2）①當(dāng)t=4或t=5時(shí)，分別作出圖形，當(dāng)∠MHN=90°時(shí)，當(dāng)∠H''NM=90°時(shí)，當(dāng)∠H'MN=90°時(shí)在l上的勾股點(diǎn)分別為個(gè)或2個(gè)；
②利用①的結(jié)果可以探究滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍．

解答：解：（1）如圖1，尺規(guī)作圖正確（以線段CD為直徑的圓與線段AB的交點(diǎn)）；


（2）①如圖2，當(dāng)t=4時(shí)，當(dāng)∠MHN=90°時(shí)，當(dāng)∠H''NM=90°時(shí)，當(dāng)∠H'MN=90°時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)H，H′，H″；

如圖3，當(dāng)t=5時(shí)，當(dāng)∠MHN=90°時(shí)，當(dāng)∠H′MN=90°時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)H，H′；
      
②如圖4，當(dāng)0≤t＜4時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；

如圖5，當(dāng)t=4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；

如圖6，當(dāng)4＜t＜5時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；

如圖7，當(dāng)t=5時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；

如圖8，當(dāng)5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；

如圖9，當(dāng)t=8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)．
                                     
綜上所述，當(dāng)0≤t＜4或t=5或t=8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)t=4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)4＜t＜5或5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，難度很大，綜合性比較強(qiáng)，是一個(gè)探究性試題，利用了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)、等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生是能力要求很高，解題關(guān)鍵是正確理解題目所給材料，然后充分利用材料解題．