Question

如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是正方形，對(duì)角線AC、BD應(yīng)滿足的條件是

AC=BD且AC⊥BD

．

Answer 1

分析：添加的條件應(yīng)為：AC=BD且AC⊥BD，把AC=BD作為已知條件，根據(jù)三角形的中位線定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根據(jù)等量代換和平行于同一條直線的兩直線平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH為平行四邊形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所證四邊形的鄰邊EH與HG相等，所以四邊形EFGH為菱形，進(jìn)而利用對(duì)角線垂直得出菱形EFGH是正方形．

解答：解：添加的條件應(yīng)為：AC=BD且AC⊥BD．
理由：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴在△ADC中，HG為△ADC的中位線，所以HG∥AC且HG=

1

2

AC；同理EF∥AC且EF=

1

2

AC，同理可得EH=

1

2

BD，
則HG∥EF且HG=EF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，又AC=BD，所以EF=EH，
∴四邊形EFGH為菱形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，
∴EF⊥BD，
∵EH∥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴菱形EFGH是正方形．
故答案為：AC=BD且AC⊥BD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的判定以及三角形中位線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形的中位線定理以及平行線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．