Question

已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E為BC邊上一點，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)．
（1）當(dāng)正方形的頂點F恰好落在對角線AC上時，求BE的長；
（2）將（1）問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形B′EFG，當(dāng)點E與點C重合時停止平移．設(shè)平移的距離為t，正方形B′EFG的邊EF與AC交于點M，連接B′D，B′M，DM，是否存在這樣的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）問的平移過程中，設(shè)正方形B′EFG與△ADC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）如圖①，
設(shè)正方形BEFG的邊長為x，
則BE=FG=BG=x，
∵AB=3，BC=6，
∴AG=AB-BG=3-x，
∵GF∥BE，
∴△AGF∽△ABC，
∴，
即，
解得：x=2，
即BE=2；

（2）存在滿足條件的t，
理由：如圖②，過點D作DH⊥BC于H，
則BH=AD=2，DH=AB=3，
由題意得：BB′=HE=t，HB′=|t-2|，EC=4-t，
∵EF∥AB，
∴△MEC∽△ABC，
∴，即，
∴ME=2-t，
在Rt△B′ME中，B′M²=ME²+B′E²=2²+（2-t）²=t²-2t+8，
在Rt△DHB′中，B′D²=DH²+B′H²=3²+（t-2）²=t²-4t+13，
過點M作MN⊥DH于N，
則MN=HE=t，NH=ME=2-t，
∴DN=DH-NH=3-（2-t）=t+1，
在Rt△DMN中，DM²=DN²+MN²=t²+t+1，
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，則DM²=B′M²+B′D²，
即t²+t+1=（t²-2t+8）+（t²-4t+13），
解得：t=，
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，則B′D²=B′M²+DM²，
即t²-4t+13=（t²-2t+8）+（t²+t+1），
解得：t₁=-3+，t₂=-3-（舍去），
∴t=-3+；
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，則B′M²=B′D²+DM²，
即：t²-2t+8=（t²-4t+13）+（t²+t+1），
此方程無解，
綜上所述，當(dāng)t=或-3+時，△B′DM是直角三角形；

（3）①如圖③，當(dāng)F在CD上時，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，
∴CE=，
∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-=，
∵ME=2-t，
∴FM=t，
當(dāng)0≤t≤時，S=S_△FMN=×t×t=t²，
②如圖④，當(dāng)G在AC上時，t=2，
∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4-t）=3-t，
∴FK=2-EK=t-1，
∵NL=AD=，
∴FL=t-，
∴當(dāng)＜t≤2時，S=S_△FMN-S_△FKL=t²-（t-）（t-1）=-t²+t-；
③如圖⑤，當(dāng)G在CD上時，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，
解得：B′C=，
∴EC=4-t=B′C-2=，
∴t=，
∵B′N=B′C=（6-t）=3-t，
∵GN=GB′-B′N=t-1，
∴當(dāng)2＜t≤時，S=S_梯形GNMF-S_△FKL=×2×（t-1+t）-（t-）（t-1）=-t²+2t-，
④如圖⑥，當(dāng)＜t≤4時，
∵B′L=B′C=（6-t），EK=EC=（4-t），B′N=B′C=（6-t），EM=EC=（4-t），
S=S_梯形MNLK=S_{梯形B′EKL}-S_{梯形B′EMN}=-t+．
綜上所述：
當(dāng)0≤t≤時，S=t²，
當(dāng)＜t≤2時，S=-t²+t-；
當(dāng)2＜t≤時，S=-t²+2t-，
當(dāng)＜t≤4時，S=-t+．
分析：（1）首先設(shè)正方形BEFG的邊長為x，易得△AGF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得BE的長；
（2）首先利用△MEC∽△ABC與勾股定理，求得B′M，DM與B′D的平方，然后分別從若∠DB′M=90°，則DM²=B′M²+B′D²，若∠DB′M=90°，則DM²=B′M²+B′D²，若∠B′DM=90°，則B′M²=B′D²+DM²去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；
（3）分別從當(dāng)0≤t≤時，當(dāng)＜t≤2時，當(dāng)2＜t≤時，當(dāng)＜t≤4時去分析求解即可求得答案．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．