Question

已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在邊BC上，將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AC上的點(diǎn)D處，點(diǎn)F在線段AE的延長(zhǎng)線上，如果∠FCA=∠B=2∠ACB，AB=5，AC=9．
求：（1）的值；
（2）CE的值．

Answer 1

解：（1）∵將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AC上的點(diǎn)D處，
∴△ABE≌△ADE，
∴∠B=∠ADE，AB=AD=5，
∵∠FCA=∠B，
∴∠FCA=∠ADE，
∴DE∥CF，
∴△ADE∽△ACF，
∴==，
∴=；

（2）∵∠FCA=2∠ACB，
∴∠ACE=∠FCE．
∵DE∥CF，
∴∠DEC=∠FCE，
∴∠ACE=∠DEC，
∴DE=DC=AC-AD=9-5=4，
∵△ABE≌△ADE，
∴BE=DE=4，∠BAE=∠DAE，
∴=，=，
解得CE=．
分析：（1）先由折疊的性質(zhì)得出△ABE≌△ADE，則∠B=∠ADE，AB=AD=5，再由∠FCA=∠B，得到∠FCA=∠ADE，判定DE∥CF，則△ADE∽△ACF，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到==，即可求出的值；
（2）先由已知條件及平行線的性質(zhì)得出∠ACE=∠DEC，根據(jù)等角對(duì)等邊得到DE=DC=4，再由△ABE≌△ADE，得出BE=DE=4，∠BAE=∠DAE，然后由角平分線的性質(zhì)得到=，將數(shù)值代入，即可求出CE的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．