Question

如圖，已知直線y=2x+12分別與y軸，x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在y軸上，以點(diǎn)M為圓心的OM與直線AB相切于點(diǎn)D，連接PD．
（1）求證：△ADM∽△AOB；
（2）如果OM的半徑為2，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并寫出以為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)M的拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得P，A，M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？如果存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線與圓相切可知，∠ADM=∠AOB=90°，公共角為∠A，利用“AA”可證△ADM∽△AOB；
（2）設(shè)A（0，m），由直線y=2x+12可知，OA=12，OB=6，則AM=12-m，DM=2，利用勾股定理得AB=6，由△ADM∽△AOB，利用相似比求m的值即可，設(shè)拋物線頂點(diǎn)式，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，可求拋物線解析式；
（3）存在，△AOB中，OA：OB=12：6=2：1，則所求直角三角形兩直角邊的比為2：1，根據(jù)△PAM中，頂點(diǎn)P，A，M分別為直角頂點(diǎn)，根據(jù)拋物線解析式分別求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：（1）證明：∵⊙M與直線AB相切，∴∠ADM=∠AOB=90°，
又∵∠A=∠A，∴△ADM∽△AOB；

（2）解：設(shè)M（0，m），
由直線y=2x+12得，OA=12，OB=6，
則AM=12-m，而DM=2，
在Rt△AOB中，AB==6，
∵△ADM∽△AOB，∴=，即=，解得m=2，
∴M（0，2），設(shè)頂點(diǎn)為（，）的拋物線解析式為y=a（x-）²+，
將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a（0-）²+=2，解得a=-2，
所以，拋物線解析式為y=-2（x-）²+；

（3）解：存在．
△PAM中，①當(dāng)頂點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，M、P兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=軸對(duì)稱，此時(shí)MP=5，AM=12-2=10，AM：MP=2：1，符合題意，P（5，2）；
②當(dāng)頂點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)縱坐標(biāo)為12，代入拋物線解析式，得-2（x-）²+=12，解得x=±，此時(shí)AP=±，AM=10，不符合題意；
③當(dāng)頂點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，則由相似三角形的性質(zhì)可知，P（n，2n+2），或P（2n，n+2），
若P（n，2n+2），則2n+n=10，解得n=4，而當(dāng)x=4時(shí)，y=-2（4-）²+=10，2n+2=10，符合題意，
若P（2n，n+2），則n+4n=10，解得n=2，而當(dāng)x=2n=4時(shí)，y=-2（4-）²+=10，n+2=4，不符合題意，
所以，符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），（4，10）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由三角形相似，利用相似比求M點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的頂點(diǎn)式求拋物線解析式，根據(jù)Rt△AOB的兩直角邊的關(guān)系及相似三角形的性質(zhì)求P點(diǎn)坐標(biāo)．