Question

已知：如圖，矩形ABCD中，CD=2，AD=3，以C點為圓心，作一個動圓，與線段AD交于點P（P和A、D不重合），過P作⊙C的切線交線段AB于F點．
（1）求證：△CDP∽△PAF；
（2）設DP=x，AF=y，求y關于x的函數(shù)關系式，及自變量x的取值范圍；
（3）是否存在這樣的點P，使△APF沿PF翻折后，點A落在BC上，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵過P作⊙C的切線交線段AB于F點，
∴CP⊥FP，
∴∠1+∠2=90°，
∵在矩形ABCD中，
∴∠D=∠A=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△CDP∽△PAF；

（2）解：∵△CDP∽△PAF，
∴=，
∵DP=x，AF=y，
∴=，
∴y=-x²+x（0＜x＜3），


（3）證明：設△AFP下翻后落在BC邊上的點為Q，
∵△AFP≌△QFP，
∴QF=AF=y，∠QPF=∠APF． 
由PF是圓的切線可知：∠QPF+∠DPC=90°，∠QPF+∠QPC=90°．
∴∠QPC=∠DPC．
又∵∠DPC=∠PCQ，
∴△QPC為等腰三角形，
∴QC=QP=AP=3-x，則BQ=x．
在△FBQ中，F(xiàn)B=2-y，BQ=x，F(xiàn)Q=y 
x²+（2-y）²=y²整理得：x²-4y+4=0，
由y=-x²+x得3x²-6x+4=0 因為（-6）²-4×3×4＜0，
所以此方程無實根，
所以這樣的點就不存在．
分析：（1）利用切線的性質(zhì)得出∠1+∠2=90°，進而利用矩形的性質(zhì)求得出∠2=∠3，進而得出△CDP∽△PAF；
（2）利用△CDP∽△PAF，得出=，進而得出y與x之間的函數(shù)關系；
（3）設△AFP下翻后落在BC邊上的點為Q，利用已知首先判定△QPC為等腰三角形，再利用QC=QP=AP=3-x，利用勾股定理求出關于x的一元二次方程進而得出答案．
點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理和相似三角形的性質(zhì)和判定等知識，利用反證法得出A點不在BC上是解題關鍵．