Question

如圖1，點(diǎn)O₁在y軸負(fù)半軸上，⊙O₁交坐標(biāo)軸于A、B、C、D點(diǎn)，DO=3CO，AB=2

3

．
（1）求⊙O₁的半徑；
（2）如圖2，點(diǎn)P是劣弧AB上一點(diǎn)，連接PA、PD、PB，試給出線段PA、PD、PB之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
（3）如圖3，點(diǎn)M、N同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中點(diǎn)M沿射線AC運(yùn)動(dòng)，速度為每秒

3

個(gè)單位，點(diǎn)N沿射線AO運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位，設(shè)同時(shí)運(yùn)動(dòng)了t秒，是否存在以M為圓心、MN為半徑的⊙M與y軸相切？若存在，請求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)設(shè)CO=x，則OD=3x，O₁A=O₁C=2x，O₁O=x，利用勾股定理求出⊙O₁的半徑；
（2）根據(jù)已知得出AC的長，進(jìn)而得出，△O₁AC是等邊三角形，再證明△PAB≌△NDB（SAS），得出BN=BP，△PNB是等邊三角形，PB=BN=PN，即可得出答案；
（3）首先得出△CAO∽△NAM，進(jìn)而利用MN=t．①當(dāng)⊙M在y軸左側(cè)，②當(dāng)⊙M在y軸右側(cè)時(shí)分別求出即可．

解答：（1）解：連接O₁A，設(shè)CO=x，
則OD=3x，O₁A=O₁C=2x，O₁O=x，
在Rt△O₁OA中，
AO=

1

2

AB=

3

，
（2x）²=（

3

）²+x²
∴x=1，
⊙O₁的半徑=2x=2．

（2）PD=PA+PB．
證明：連接AC，
則AC=

12+( 3 )2

=2，
∴△O₁AC是等邊三角形，
∴∠APD=∠DPB=60°，連接AD、DB，
在DP上截取DN=AP，連接BN，
則BD=2

3

=AB，∠PAB=∠PDB，
∵在△PAB和△NDB中，

AB=BD ∠PAB=∠BDP AP=DN

，
∴△PAB≌△NDB（SAS），
∴BN=BP，又∠DPB=60°，
∴△PNB是等邊三角形，PB=BN=PN，
∴PA+PN=PD，
∴PA+PB=PD；

（3）解：連接MN．
OA=

3

，OC=1，AC=2．AM=

3

t，AN=2t，
∴

OA

AC

=

AM

AN

=

3 t

2t

=

3

2

，
又∵∠CAO=∠MAN，
∴△CAO∽△NAM                        
∴MN=t．
①當(dāng)⊙M在y軸左側(cè)作MH⊥y軸于H，則

MC

CA

=

MH

AO

=

MN

AO

即

2- 3 t

2

=

t

3

∴t=

2

5

3

，
②當(dāng)⊙M在y軸右側(cè)時(shí)，作MH⊥y軸于H．

3 t-2

2

=

t

3

，
∴t=2

3

∴綜上所述，當(dāng)t=

2

5

3

或t=2

3

時(shí)⊙M 與y軸相切．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想得出是解題關(guān)鍵．