Question

【題目】如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，圓心O在這個(gè)三角形的高CD上，E，F分別是邊AC和BC上的中點(diǎn)，試判斷四邊形CEDF的形狀，并加以說明．

Answer 1

【答案】四邊形CEDF為菱形．證明見解析.

【解析】

由垂徑定理知，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，有AD＝BD，可證△CAD≌△CBD，可得AC＝BC；由E，F分別為AC，BC的中點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，得DF＝CE＝AC，DE＝CF＝BC，即DE＝DF＝CE＝CF，從而可得四邊形CEDF為菱形．

四邊形CEDF為菱形．

證明：∵AB為弦，CD為直徑所在的直線且AB⊥CD，

∴AD＝BD，∠ADC＝∠CDB，

在△ADC和△BDC中

，

∴△CAD≌△CBD（SAS），

∴AC＝BC；

又∵E，F分別為AC，BC的中點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，

∴DF＝CE＝AC，DE＝CF＝BC，

∴DE＝DF＝CE＝CF，

∴四邊形CEDF為菱形．