Question

已知拋物線（a≠0）的對(duì)稱軸是直線l，頂點(diǎn)為點(diǎn)M．若自變量x和函數(shù)值y₁的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：

x	…	―1	0	3	…
	…	0		0	…

（1）求y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)T（0，t）作垂直于y軸的直線l′，A為直線l′上的動(dòng)點(diǎn)，線段AM的垂直平分線交直線l于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)為P，記P（x，y₂）．

①求y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，若對(duì)于同一個(gè)x，有y₁＜y₂恒成立，求t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）①；

②可以使y₁＜y₂恒成立的t的取值范圍是t≥．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，）得出c的值，再把點(diǎn)（－1，0）、（3，0）代入拋物線y₁的解析式即可得出y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）先根據(jù)（I）中y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．

①記直線l與直線l′交于點(diǎn)C（1，t），當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)C不重合時(shí)，由已知得，AM與BP互相垂直平分，故可得出四邊形ANMP為菱形，所以PA∥l，再由點(diǎn)P（x，y2）可知點(diǎn)A（x，t）（x≠1），所以，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q（1，y₂），故，，在Rt△PQM中，根據(jù)勾股定理即可得出y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再由當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)P重合可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，故可得出y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

②據(jù)題意，借助函數(shù)圖象：

當(dāng)拋物線y₂開(kāi)口方向向上時(shí)，可知6－2t＞0，即t＜3時(shí)，拋物線y₁的頂點(diǎn)M（1，3），拋物線y₂的頂點(diǎn)（1， ），由于3＞，所以不合題意.

當(dāng)拋物線y₂開(kāi)口方向向下時(shí)，6－2t＜0，即t＞3時(shí)，求出的值.若3t－－11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，只要拋物線方向向下及且頂點(diǎn)（1， ）在x軸下方，因?yàn)?－t＜0，只要3t－11＞0，解得t＞，符合題意；若3t－11=0，，即t=也符合題意.

試題解析：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，），∴c=.∴.

∵點(diǎn)（－1，0）、（3，0）在拋物線上，

∴，解得.

∴y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：.

（2）∵，∴.

∴直線l為x=1，頂點(diǎn)M（1，3）．

①由題意得，t≠3，

如圖，記直線l與直線l′交于點(diǎn)C（1，t），

當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)C不重合時(shí)，

∵由已知得，AM與BP互相垂直平分，

∴四邊形ANMP為菱形.∴PA∥l.

又∵點(diǎn)P（x，y₂），∴點(diǎn)A（x，t）（x≠1）.∴.

過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q（1，y₂），∴，.

在Rt△PQM中，∵，即.

整理得，，即.

當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，

∴P（1，）.∴P點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式.

∴y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（t≠3）.

②根據(jù)題意，借助函數(shù)圖象：

當(dāng)拋物線y₂開(kāi)口方向向上時(shí)，6－2t＞0，即t＜3時(shí)，拋物線y₁的頂點(diǎn)M（1，3），拋物線y₂的頂點(diǎn)（1，），

∵3＞，∴不合題意.

當(dāng)拋物線y₂開(kāi)口方向向下時(shí)，6－2t＜0，即t＞3時(shí)，

，

若3t－11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，只要拋物線開(kāi)口方向向下，且頂點(diǎn)（1，）在x軸下方，

∵3－t＜0，只要3t－11＞0，解得t＞，符合題意.

若3t－11=0，，即t=也符合題意.

綜上所述，可以使y₁＜y₂恒成立的t的取值范圍是t≥．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．