Question

如圖，已知直線y=-x+5與y軸、x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)B沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．
①設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，若以MN為直徑的圓與y軸相切，試求出此時(shí)t的值；
②是否存在這樣的t值，使得CN=DM？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0、5）、（5、0），
拋物線的解析式為y=-x²+4x+5；

（2）①由題意知：P（5-t，0）．
∴N（-（5-t）²+4（5-t）+5，y）
∴MN=y_N-y_M=-（5-t）²+4（5-t）+5-（-5+t+5）=-t²+5t
∵以MN為直徑的圓與y軸相切
∴-t²+5t=2（5-t），
即t²-7t+10=0，
解得t=2，t=5（不合題意舍去）
∴t的值為2；
②當(dāng)CN∥DM時(shí)，CN=DM，
∵CN∥DM，直線AB的解析式為：y=-x+5
設(shè)直線CN的解析式為y=-x+h，易知：C（2，9）．
∴直線CN的解析式為y=-x+11．
聯(lián)立拋物線的解析式有：
-x+11=-x²+4x+5，
解得x=2，x=3．
因此N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，此時(shí)t=5-3=2．
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知：N點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)N′也應(yīng)該符合條件，
因此N′的橫坐標(biāo)為1，此時(shí)t=5-1=4
∴t的值為2或4．
分析：（1）令直線的解析式中x=0，可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，令x=0，可求出A點(diǎn)坐標(biāo)．然后將A、B的坐標(biāo)代入拋物線中，即可求出拋物線的解析式．
（2）①以MN為直徑的圓與y軸相切時(shí)，P點(diǎn)橫坐標(biāo)等于此時(shí)拋物線與直線AB函數(shù)值差的一半，據(jù)此來列等量關(guān)系求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了t的值．
②如果CN∥AB，那么此時(shí)CN必與DM相等（因?yàn)榇藭r(shí)四邊形CDMN是平行四邊形），可根據(jù)直線AB的斜率和C點(diǎn)坐標(biāo)求出直線CN的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式可得出N點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和平行線分線段成比例定理可知，N點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)也應(yīng)該符合這個(gè)條件，由此可求出兩個(gè)符合條件的t的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)．