Question

要在半徑長為1米、圓心角為60°的扇形AOB鐵皮上截取一塊盡可能大的正方形．小明設(shè)計如下兩種截取方案．
方案一（如圖1）：C在半徑OA上，D、E在半徑OB上，F(xiàn)在弧AB上；
方案二（如圖2）：C在OA上，D在OB上，E，F(xiàn)在弧AB上．
請通過計算這兩種方案中正方形鐵皮的面積幫小明選擇合理的方案．（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意畫出圖形，分別連接PQ和過O作OG⊥DE，交CF于點H，連接OF，構(gòu)造直角三角形求得正方形的邊長，求得正方形的面積后比較即可．由于正方形內(nèi)接于扇形，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．
解答：解：方案一：如圖1
連接OF，設(shè)正方形CDEF的邊長為x，
∵圓心角為60°，
∴OD=，
則在Rt△OFE中，
OF²=OE²+EF²，即1²=x²+（x+）²，
解得x²=，
∴S_{四邊形CDEF}=x²=≈0.29；

方案二：如圖2所示，
過O作OG⊥EF，交CD于點H，連接OE，
設(shè)EG=x，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴OH⊥CD，
∴EG=DH=x，
∵∠DOC=60°，H為CD中點，
∴OH=DH，
∴OG=OH+HG=HC+CF=x+2x，
在Rt△OEG中，
OE²=GE²+OG²，即1²=x²+（x+2x）²，
解得x²=，
∴S_{四邊形CDEF}=4x²=2-≈0.27，
∴第（一）種方案截取的正方形的面積最大．
點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，再進(jìn)行解答．