Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、軸分別交于點(diǎn),，將點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，解答下列問題:

（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)是否在直線l上；

（2）若點(diǎn)在x軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），點(diǎn)在直線l上，見解析；（2）存在，點(diǎn)坐標(biāo)為：，或，或或.

【解析】

（1）依題意作出點(diǎn)，過C點(diǎn)作CH⊥OA，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，由30°直角三角形性質(zhì)可求出HC=，OH=3，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式驗(yàn)證，符合解析式即可判定C在直線l上.

即可求解；

（2）分是菱形的一條邊、是菱形的一條對角線兩種情況，分別根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律求解即可．

解：（1）設(shè)將點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，

直線，令，則，令，則，

則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，，

則，，

∵，OC=OB=，

∴，

過C點(diǎn)作CH⊥OA，

∴HC=，OH=3

點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

∵當(dāng)x=3時，=.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)在直線l上.

（2）存在，理由：

點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形如圖所示，

①當(dāng)是菱形的一條邊時，當(dāng)點(diǎn)在x軸上方，

當(dāng)菱形為時，則，則點(diǎn)，；

當(dāng)菱形為時，點(diǎn)，；

當(dāng)點(diǎn)在x軸下方，

同理可得：點(diǎn)；

②當(dāng)是菱形的對角線時，

設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，

則的中點(diǎn)即為的中點(diǎn)，且（即，

，，，

解得：，，，

故點(diǎn)；

綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為：，或，或或．