Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過(guò)B作BE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，過(guò)A作AF⊥AE交CD于點(diǎn)F．
（1）求證：AE=AF；  
（2）求證：CD=2BE+DE．

Answer 1

證明：（1）如圖，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，
∵∠EDB=∠ADC，
∴∠EBA=∠ACF，
∴在△AEB與△AFC中，，
∴△AEB≌△AFC（SAS）
∴AE=AF；
                    
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EC，垂足為G．
∵AG⊥EC，BE⊥CD，
∴∠BED=∠AGD=90°，
∵點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，
∴BD=AD．
∴在△BED與△AGD中，，
∴△BED≌△AGD（AAS），
∴ED=GD，BE=AG，
∵AE=AF
∴∠AEF=∠AFE=45°
∴∠FAG=45°
∴∠GAF=∠GFA，
∴GA=GF，
∴CF=BE=AG=GF，
∵CD=DG+GF+FC，
∴CD=DE+BE+BE，
∴CD=2BE+DE．
分析：（1）通過(guò)證△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EC，垂足為G，通過(guò)證△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易證CF=BE=AG=GF．因?yàn)镃D=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故
CD=2BE+DE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．