如圖,P是正方形ABCD邊BC上的一點(diǎn),且BP=3PC,Q是CD中點(diǎn).
(1)求證:△ADQ∽△QCP.
(2)試問:AQ與PQ有什么關(guān)系(位置與數(shù)量)?
分析:(1)在所要求證的兩個(gè)三角形中,已知的等量條件為:∠D=∠C=90°,若證明兩三角形相似,可證兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)直角邊成比例;
(2)AQ=2PQ,且AQ⊥PQ.根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得AQ與PQ的數(shù)量關(guān)系;根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可證得AQ與PQ的位置關(guān)系.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠C=∠D=90°;
又∵Q是CD中點(diǎn),
∴CQ=DQ=
1
2
AD;
∵BP=3PC,
∴CP=
1
4
AD,
CQ
AD
=
CP
DQ
=
1
2
,
又∵∠C=∠D=90°,
∴△ADQ∽△QCP;

(2)AQ=2PQ,且AQ⊥PQ.理由如下:
由(1)知,△ADQ∽△QCP,
CQ
AD
=
CP
DQ
=
1
2
,
AQ
QP
=
CQ
AD
=
CP
DQ
=
1
2
,
AQ=2PQ;
∵△ADQ∽△QCP,
∴∠AQD=∠QPC,∠DAQ=∠PQC,
∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°,
∴AQ⊥QP.
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,E是正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn),EF⊥AB,EG⊥BC,F(xiàn)、G是垂足,若正方形ABCD周長為a,則EF+EG等于(  )
A、
1
4
a
B、
1
2
a
C、a
D、2a

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖①,已知△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn),PN⊥AC于點(diǎn)N,PM⊥AB于點(diǎn)M,CG⊥AB于點(diǎn)G點(diǎn).
(1)則CG、PM、PN三者之間的數(shù)量關(guān)系是
 
;
(2)如圖②,若點(diǎn)P在BC的延長線上,則PM、PN、CG三者是否還有上述關(guān)系,若有,請(qǐng)說明理由,若沒有,猜想三者之間又有怎樣的關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如圖③,AC是正方形ABCD的對(duì)角線,AE=AB,點(diǎn)P是BE上任一點(diǎn),PN⊥AB于點(diǎn)N,PM⊥AC于點(diǎn)M,猜想PM、PN、AC有什么關(guān)系;(直接寫出結(jié)論)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

22、如圖,ABCD是正方形,P是對(duì)角線BD上一點(diǎn),過P點(diǎn)作直線EF、GH分別平行于AB、BC,交兩組對(duì)邊于E、F、G、H,則四邊形PEDG,四邊形PHBF都是正方形,四邊形PEAH、四邊形PGCF都是矩形,設(shè)正方形PEDG的邊長是a,正方形PHBF的邊長是b. 請(qǐng)動(dòng)手實(shí)踐并得出結(jié)論:
(1)請(qǐng)你動(dòng)手測(cè)量一些線段的長后,計(jì)算正方形PEDG與正方形PHBF的面積之和以及矩形PEAH與矩形PGCF的面積之和.
(2)你能根據(jù)(1)的結(jié)果判斷a2+b2與2ab的大小嗎?
(3)當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),有a2+b2=2ab?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖四邊形AOBC是正方形,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4
2
,0),動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),點(diǎn)P沿著折線OACB的方向運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q沿著折線OBCA的方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.
(1)求出經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式.
(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的2倍,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到邊BC上,連接PQ交AB于點(diǎn)R,當(dāng)AR=3
2
時(shí),請(qǐng)求出直線PQ的解析式.
(3)若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長度,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度精英家教網(wǎng),兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到相遇停止.設(shè)△OPQ的面積為S.請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍.
(4)判斷在(3)的條件下,當(dāng)t為何值時(shí),△OPQ的面積最大?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,AC是正方形ABCD的對(duì)角線,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),點(diǎn)Q是AB上一點(diǎn),連接CQ,DP⊥CQ于點(diǎn)E,交BC于精英家教網(wǎng)點(diǎn)P,連接OP,OQ;
求證:
(1)△BCQ≌△CDP;
(2)OP=OQ.

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