精英家教網(wǎng)如圖,設(shè)O為△ABC內(nèi)一點,且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,P為任意一點(不是O).求證:PA+PB+PC>OA+OB+OC.
分析:過△ABC的頂點A,B,C分別引OA,OB,OC的垂線,設(shè)這三條垂線的交點為A1,B1,C1(如圖),即可判定△A1B1C1為正三角形,
設(shè)P到△A1B1C1三邊B1C1,C1A1,A1B1的距離分別為ha,hb,hc,且△A1B1C1的邊長為a,高為h,則可以證明以h=ha+hb+hc,根據(jù)PA+PB+PC>P到△A1B1C1三邊距離之和,即可解題.
解答:證明:過△ABC的頂點A,B,C分別引OA,OB,OC的垂線,設(shè)這三條垂線的交點為A1,B1,C1(如圖),考慮四邊形AOBC1
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因為∠OAC1=∠OBC1=90°,∠AOB=120°,
所以∠C1=60°.同理,∠A1=∠B1=60°.
所以△A1B1C1為正三角形.
設(shè)P到△A1B1C1三邊B1C1,C1A1,A1B1的距離分別為ha,hb,hc,且△A1B1C1的邊長為a,高為h.
由等式S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1+S△PA1B1
1
2
h•a=
1
2
ha•a+
1
2
hb•a+
1
2
hc•a,
所以h=ha+hb+hc
這說明正△A1B1C1內(nèi)任一點P到三邊的距離和等于△A1B1C1的高h,這是一個定值,所以O(shè)A+OB+OC=h=定值.
顯然,PA+PB+PC>P到△A1B1C1三邊距離和,
所以PA+PB+PC>h=OA+OB+OC.
點評:本題考查了等邊三角形的證明,考查了正三角形內(nèi)任一點P到三邊的距離和等于該等邊三角形的高h,本題中求證正三角形內(nèi)任一點P到三邊的距離和等于該等邊三角形的高h是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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OD
AO
OE
BO
OF
CO
等于( 。

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