Question

從1開始，連續(xù)的自然數(shù)相加，它們的和的倒數(shù)情況如下表：
（1）根據(jù)表中規(guī)律，求

1

1+2+3+…+10

=

 

；
（2）根據(jù)表中規(guī)律，則

1

1+2+3+4+…+n

=

 

；
（3）求

1

1+2

+

1

1+2+3

+

1

1+2+3+4

+

1

1+2+3+4+…+n

的值．

分母中加數(shù)的個數(shù)	和的倒數(shù)
2	1 1+2 =2( 1 2 - 1 3 )= 1 3
3	1 1+2+3 =2( 1 3 - 1 4 )= 1 6
4	1 1+2+3+4 =2( 1 4 - 1 5 )= 1 10
5	1 1+2+3+45 =2( 1 5 -)= 1 15
…	…

Answer 1

分析：根據(jù)上圖的幾個例子我們可以總結(jié)出規(guī)律，即根據(jù)表中規(guī)律，則

1

1+2+3+4+…+n

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．

解答：解：（1）按照下表的規(guī)律，可以

1

1+2+3+…+10

=2（

1

10

-

1

11

）=

1

55

；

（2）根據(jù)表中規(guī)律，則

1

1+2+3+4+…+n

=

2

n(n+1)

；

（3）由表中幾個式子我們可以得出規(guī)律，即

1

1+2+3+4+…+n

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．所以

1

1+2

+

1

1+2+3

+

1

1+2+3+4

+

1

1+2+3+4+…+n

=2（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…

1

n

-

1

n+1

）=2（

1

2

-

1

n+1

）=

n-1

n+1

；

點評：本題屬于找規(guī)律的題目，另外還需要學(xué)生對規(guī)律的靈活應(yīng)用．