Question

在矩形ABCD中，BC=3，BG與對角線AC垂直且分別交AC、AD及射線CD于點E、F、G，設(shè)AB=x．
（1）當(dāng)點G與點D重合時，求x的值；
（2）當(dāng)點F為AD中點時，求x的值及∠ECF的正弦值；
（3）是否存在x的值，使以點D為圓心、CD為半徑的圓與BG相切？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)點G與點D重合時，點F也與點D重合，
∵矩形ABCD中，AC⊥BG，
∴四邊形ABCD是正方形，
∵BC=3，
∴x=AB=BC=3；

（2）∵點F為AD中點，且AD=BC=3，
∴AF=AD=，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAF=∠ECB，∠AFE=∠CBE，
∴△AEF∽△CEB，
∴====，
∴CE=2AE，BE=2FE，∴AC=3AE，BF=3FE，
∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中，
分別由勾股定理得：AC²=AB²+BC²，BF²=AF²+AB²，
即（3AE）²=x²+3²，
（3FE）²=（）²+x²，
兩式相加，得：9（AE²+FE²）=2x²+，
又∵AC⊥BG，
∴在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：AE²+FE²=AF²=，
∴9×=2x²+，
解得：x=或x=-（舍去），
故x=；
∵F為AD的中點，由對稱性（或△BAF≌△CDF）得到BF=CF，
∴在Rt△FEC中，sin∠ECF===．

（3）存在，
理由：連接BD交AC于點O，過D作DH⊥BG于H．
則當(dāng)DH=DC時，以點D為圓心、CD為半徑的圓與BG相切．
∵在Rt△BHD和Rt△BCD中

∴Rt△BHD≌Rt△BCD（HL），
∴BH=BC，
∵AC⊥BG，DH⊥BG，
∴HD∥EO，
∴△BEO∽△BHD，
∴=，
∴=，
∴∠ACB=30°，
∴在Rt△ABC中，x=AB=BC=．
分析：（1）根據(jù)當(dāng)點G與點D重合時，點F也與點D重合，進而利用正方形的性質(zhì)得出x的值；
（2）首先得出△AEF∽△CEB，進而得出CE=2AE，BE=2FE，再利用勾股定理得出x的值，再利用sin∠ECF==得出；
（3）首先根據(jù)當(dāng)DH=DC時，以點D為圓心、CD為半徑的圓與BG相切，先證明Rt△BHD≌Rt△BCD，得出BH=BC，進而得出△BEO∽△BHD，即可得出x的值．
點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．