(2010•大連二模)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是直徑,點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn),連接AD,交BC于點(diǎn)F.
(1)過點(diǎn)D作DE∥BC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,判斷DE是否是⊙O的切線,并說明理由;
(2)若CD=6,AC:AF=4:5,求⊙O的半徑.

【答案】分析:(1)連接OD、BD,先由OA=OD,可得∠OAD=∠ODA,而D是弧BC的中點(diǎn),那么弧CD=弧BD,利用同圓中相等的弧所對(duì)的圓周角相等,可得∠BAD=∠CAD,從而∠ODA=∠CAD,利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行,可知OD∥AC,再利用平行線的性質(zhì)有∠AED+∠ODE=180°,由于AB是直徑,就有∠ACB=90°,而BC∥DE,那么∠AED=∠ACB=90°,代入∠AED+∠ODE=180°中,可求∠ODE=90°,即DE是⊙O的切線;
(2)由于AB是直徑,那么∠ADB=∠ACB=90°,由(1)可知∠CAD=∠BAD,所以就有△ACF≌△ADB,可得比例線段AD:AB=AC:AF=4:5,于是有cos∠BAD=,可求sin∠BAD=,而sin∠BAD=BD:AB,又BD=CD=6,于是可求AB=10,則半徑=5.
解答:解:(1)DE是⊙O的切線.(說明:結(jié)論(1分),但不重復(fù)得分)
證明:連接OD、BD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,(1分)
∵點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn),
∴弧DC=弧BD,
∴∠CAD=∠OAD,(2分)
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,(3分)
∴∠ODE+∠AED=180°,
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,(4分)
又∵DE∥BC,
∴∠AED=∠ACB=90°,
∴∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,(5分)
∴DE是⊙O的切線.(6分)

(2)∵AB是直徑,
∴∠ADB=∠ACB=90°(7分)
由(1)知,∠CAD=∠BAD,
∴△ACF∽△ADB,(8分)

,
,
又∵,BD=CD=6,
∴AB=10,(9分)
∵AB是⊙O直徑,
∴⊙O的半徑為5.(10分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了同圓中相等的弧所對(duì)的圓周角相等、平行線的判定和性質(zhì)、切線的判定、直徑所對(duì)的圓周角等于90°、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)值.
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(1)求矩形紙板的長(zhǎng)和寬;
(2)在操作過程中,由于不小心,矩形紙板被剪掉一角,其直角邊長(zhǎng)分別為3cm和6cm.如果在剩余的紙板上先裁剪一個(gè)各邊與原矩形紙板各邊平行或重合的矩形,然后再按如圖裁剪方式制作高仍是4cm的無蓋長(zhǎng)方體紙盒,那么你認(rèn)為如何裁剪才能使制作的長(zhǎng)方體紙盒的容積最大,請(qǐng)畫出草圖,并說明理由.

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(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
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(3)假設(shè)沒有攔擋,足球?qū)⒉林蜷T左上角射入球門,球門的高為2.44m(如圖所示,足球的大小忽略不計(jì)).如果為了能及時(shí)將足球撲出,那么足球被踢出時(shí),離球門左邊框12m處的守門員至少要以多大的平均速度到球門的左邊框?

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