Question

如圖，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于點D，點E為邊BC上一個動點．
（1）當點E移動到什么位置時，ED為⊙O的切線？并證明之；
（2）如果點E在（1）的位置的條件下，且ED為⊙O的切線，⊙O的半徑為， ED=2，求BD的長．

Answer 1

（1）當點E為BC中點時，ED為⊙O的切線
證明：連接OD
∵點O為直徑AB的中點，點E為BC的中點
∴ OE為△ABC的中位線
∴OE//AB ∴ ∠COE= ∠A ∠DOE= ∠ODA
∵OA=OD ∴ ∠ODA= ∠A ∴ ∠COE= ∠DOE
又∵CO=DO EO=EO
∴△ODE≌△OCE
∴ ∠ODE= ∠C=90
又∵點C在⊙O上
∴ED為⊙O的切線；
（2）解：連接CD
∵ED為⊙O的切線
∴∠ODE=90°
∴在Rt△ODE中 OE=
由（1）得OE是△ABC的中位線
∴OE=AB ∴AB=2OE=2×
∵∠C=90° 則在Rt△ABC中 AB=5 直徑AC=2×=3
∴BC=
又∵AC是⊙O的直徑
∴∠ADC=90°
∴S_△ABC=
∴CD=
在Rt△BDC中 BD=