【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).
(1)直線BF垂直于CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G(如圖l),求證:AE=CG;

(2)直線AH垂直于CE,垂足為H,交CD的延長線于點(diǎn)M(如圖2),找出圖中與BE相等的線段(不需要添加輔助線),并說明理由.

【答案】
(1)解:∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn),AC=BC,

∠ACB=90°,

∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,

∴∠CAD=∠CBD=45°,

∴∠CAE=∠BCG,

又∵BF⊥CE,

∴∠CBG+∠BCF=90°,

又∵∠ACE+∠BCF=90°,

∴∠ACE=∠CBG,

在△AEC和△CGB中,

∴△AEC≌△CGB(ASA),

∴AE=CG


(2)解:BE=CM.

理由:∵CH⊥HM,CD⊥ED,

∴∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°,

∴∠CMA=∠BEC,

又∵∠ACM=∠CBE=45°,

在△BCE和△CAM中,

,

∴△BCE≌△CAM(AAS),

∴BE=CM


【解析】(1)首先根據(jù)點(diǎn)D是AB中點(diǎn),∠ACB=90°,可得出∠ACD=∠BCD=45°,判斷出△AEC≌△CGB,即可得出AE=CG;(2)根據(jù)垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°,再根據(jù)AC=BC,∠ACM=∠CBE=45°,得出△BCE≌△CAM,進(jìn)而證明出BE=CM.
【考點(diǎn)精析】利用等腰直角三角形對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°.

練習(xí)冊系列答案
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1ABCDCF面積的關(guān)系是______________;(請?jiān)跈M線上填寫相等不等

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3解決問題:如圖3,在四邊形ABCD中,ACBD,且ACBD的和為10,分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外側(cè)作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI,正方形DALK,運(yùn)用(2)的結(jié)論,圖中陰影部分的面積和是否有最大值?如果有,請求出最大值,如果沒有,請說明理由.

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2

3

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B.乙公司近年的銷售收入增長速度比甲公司快
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(1)證明:
(2)過點(diǎn) ,垂足為點(diǎn) .點(diǎn) 邊中點(diǎn),連接 ,
① 根據(jù)題意完成作圖;
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