Question

如圖，直線y=-x+b與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)B為直徑作⊙C交AB于D，DC的延長(zhǎng)線交x軸于E．
（1）寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含b的代數(shù)式表示），并求tanA的值；
（2）如果AD=4，求b的值；
（3）求證：△EOD∽△EDA，并在（2）的情形下，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，y=b，當(dāng)y=0時(shí)，x=2b，
∴A（2b，0），B（0，b）
∴tanA===；

（2）AB===b
由OA²=AD•AB，得（2b）²=4•b，解得b=5；

（3）∵OB是直徑，
∴∠BDO=90°，
則∠ODA=90°
∴∠EOC=∠ODA=90°，
又∵OC=CD
∴∠COD=∠CDO
∴∠COD+∠EOC=∠CDO+∠ODA
∴∠EOD=∠EDA
又∵∠DEA=∠OED
∴△EOD∽△EDA
D點(diǎn)作y軸的垂線交y軸于H，DF⊥AE與F．
∵A（2b，0），B（0，b）
∴OA=10，OB=5．
∴AB=5，
∵DF∥OB
∴===，
∴AF=OA=8，
∴OF=OA-AF=10-8=2，
∴DH=OF=2，
∵Rt△BHD中，BD²=BH²+HD²
∴BH==1，
∴CH=-1=，
∵DH∥OE，
∴=
∴OE=．
∴E的坐標(biāo)是：（-，0）．
分析：（1）在解析式中分別令x=0與y=0，即可求得直線與y軸，x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得OA，OB的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得正切值；
（2）利用切割線定理，可以得到OA²=AD•AB，據(jù)此即可得到一個(gè)關(guān)于b的方程，從而求得b的值；
（3）利用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可證得兩個(gè)三角形相似．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切割線定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確利用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．