Question

如圖，在△ABC中，D為BC的中點，點E、F分別在邊AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于點O．過點O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q為垂足．求證：DP=DQ．

Answer 1

證明：如圖，取OB中點M，OC中點N，連接MD，MQ，DN，PN．
∵D為BC的中點
∴DM∥OC，DM=OC，DN∥OB，DN=OB．
∵在Rt△BOQ和Rt△OCP中，QM=OB，PN=OC．
∴DM=PN，QM=DN．∠QMD=∠QMO+∠OMD=2∠ABO+∠FOB，
∠PND=∠PNO+∠OND=2∠ACO+∠EOC．
∵∠ABO=∠ACO，∠FOB=∠EOC，
∴∠QMD=∠PND．
∴△QMD≌△DNP，
∴DQ=DP．
分析：取OB中點M，OC中點N，根據三角形中位線定理可得到DM∥OC，DM=OC，DN∥OB，DN=OB，再根據直角三角形斜邊上的中線的性質得到QM=OB，PN=OC，再根據三角形外角的性質即可推出∠QMD=∠PND，從而利用SAS判定△QMD≌△DNP，根據全等三角形的對應的邊相等即可證得結論．
點評：此題主要考查學生對三角形中位線定理及全等三角形的判定與性質的綜合運用能力．